Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя

1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ

КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ.

2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на

плоскости Oxy.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и

перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми

коэффициентами.

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым

коэффициентом.

5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или

каноническое уравнение прямой.

7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у

которых заданы направляющие векторы.

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у

которых заданы нормальные векторы.

10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с

угловым коэффициентом.

11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.

12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.

14. Общее уравнение плоскости.

15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.

16. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.

19. Смешанное произведение трех векторов.

20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.

22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.

27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).

30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой

второго порядка на плоскости?

31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.

32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?

33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

34. Вырожденные поверхности второго порядка.

35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

36. Метод параллельных сечений.

37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.

38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.

39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.

40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.

42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.

43. Конус вращения и его вид.

44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида

и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.

45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.

46. Линейчатые поверхности второго порядка.

47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при параллельном сдвиге осей.

48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.

49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с

центром в начале координат.

50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?

51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?

52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго

порядка.

53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?

54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0,

используя формулы Крамера.

55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5)

и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы.

56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (-

2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы.

57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z +

1= 0.

58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5)

на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).

59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z

– 3 = 0?

60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение

вектора [pic] = (1, 6, 0) и вектора [pic](1, -1, -1).

61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3,

0, 2).

62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3,

0, 2).

63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

65. Найти направляющий вектор прямой: [pic].

66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0,

0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1).

67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение

трех векторов [pic] = (1, 2, 3), [pic] = (-1, 2, 4), [pic] = (1, 1, 0).

68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность

второго порядка при этом получается?

69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго

порядка при этом получается?

70. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго

порядка при этом получается?

71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность

второго порядка при этом получается?

72. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].

1 Найдите точки пересечения прямой:[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 100.

73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому

виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта

поверхность?

74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?

75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?

76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?

77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2

+ y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 1

1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов [pic],

[pic], [pic] (

2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение

трех векторов [pic] = (1, 1, 3), [pic] = (-1, 0, 4), [pic] = (2, 1,

0).

3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.

4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

х = 1 пересекает гиперболоид [pic]+ у2 - z2 = 1? Напишите уравнение

этого сечения.

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 2

1. Как вычисляется определитель третьего порядка [pic]?

Вычислить определитель третьего порядка [pic].

6. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и [pic].

7. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

8. Меридиан [pic]= 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго

порядка при этом получается?

9. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

4х2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 3

2. Напишите условие параллельности прямых [pic], [pic].

10. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

11. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.

12. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,

параллельной оси Ох.

13. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 4

3. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в

пространстве?

14. Найти смешанное произведение трех векторов [pic](1, 2, 3), [pic](-1,

1, 0),

[pic](0, 3, 1).

15. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

16. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид [pic]?

17. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

–x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 5

4. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.

18. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2,

0,1).

19. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго

порядка.

20. Найдите точки пересечения прямой [pic]

[pic]и эллипсоида х2 + у2 +[pic].

21. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 6

5. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?

22. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы

[pic](2, 5, 0) и [pic](3, 0, 2).

23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?

24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей,

параллельной оси Оz.

25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 7

6. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных

плоскостей?

26. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0,

-1,1).

27. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой

координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия

второго порядка является направляющей этого цилиндра?

28. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?

29. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и

найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 8

7. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два

неколлинеарных вектора?

30. Найти каноническое уравнение прямой [pic]

31. Напишите каноническое уравнение конуса вращения.

32. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей,

параллельной оси Ох.

33. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 9

8. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему

вектору.

34. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное

произведение вектора [pic] = (1, 0, 1) на вектор [pic](3, 1, -1).

35. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?

36. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = [pic]?

37. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат,

точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого

конуса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 10

9. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором [pic]

параллельна плоскости с нормальным вектором [pic]. Как расположены

векторы [pic] и [pic] по отношению друг к другу?

38. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.

39. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.

40. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,

параллельной оси Оу.

41. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может

определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 11

10. Дайте определение векторного произведения векторов [pic] и [pic].

42. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из

точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.

43. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

44. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с

образующей, параллельной оси Оу.

45. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 12

11. Напишите условие параллельности прямых в пространстве.

46. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (1, 2)

и [pic]= (-2, -4) - их направляющие векторы.

47. Что называется уравнением второй степени относительно х, у?

48. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну

общую точку с плоскостью [pic]х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.

49. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 13

12. Что называется углом между прямой и плоскостью?

50. Найти направляющий вектор прямой [pic].

51. Какая поверхность называется линейчатой?

52. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго

порядка при этом получается?

53. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 14

13. Что называют смешанным произведением трех векторов?

54. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости

3x – 4y – z – 4 = 0.

55. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.

56. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = [pic] + у2 имеет одну

общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.

57. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому

виду уравнение поверхности второго порядка

2(z - 1) = [pic]? Как называется эта поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 15

14. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?

58. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника

ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).

59. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.

60. Какие плоскости симметрии имеет конус [pic]?

61. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может

определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 16

15. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных

прямых в пространстве?

62. Найти каноническое уравнение прямой [pic]

63. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что

называется полуосями этого гиперболоида?

64. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность

второго порядка при этом получается?

65. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 17

16. Что называется нормальным вектором плоскости?

66. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1)

на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1).

67. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида.

68. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,

параллельной оси Оz.

69. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

-2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 18

17. Напишите условие параллельности двух плоскостей.

70. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 7)

и [pic] = (4, 14) - их нормальные векторы.

71. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение

поверхности второго порядка: [pic]?

72. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей,

параллельной оси Ох.

73. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:

2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 19

18. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как

пересечение двух плоскостей?

74. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1)

на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1).

75. Какого типа существуют цилиндры второго порядка?

76. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

z = [pic] пересекает эллипсоид х2 + у2 + [pic]? Напишите уравнение

этого сечения.

77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 20

19. Как вычисляется определитель второго порядка [pic]? Вычислить[pic].

78. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

79. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)?

80. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость

у = 1 пересекает гиперболоид х2 + [pic]? Напишите уравнение этого

сечения.

81. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и

найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 21

20. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.

82. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у - z +1 = 0.

83. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины

называют полуосями эллипсоида?

84. Найдите точки пересечения прямой [pic]

[pic] и параболоида 2z = х2 + у2 .

85. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и

найдите ее характеристические числа: [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 22

21. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные

точки.

86. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение

вектора [pic](1, 1, 3) на вектор [pic](0, 2, 1).

87. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида?

Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?

88. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,

параллельной оси Оz.

89. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 2x2 + 2y2 + z2 + 8zy =3?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 23

22. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.

90. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2).

91. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при параллельном сдвиге осей.

92. Докажите, что прямая [pic], лежит на конусе [pic].

93. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому

виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта

поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 24

23. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных

плоскостей?

94. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.

95. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.

96. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид [pic]?

97. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

–x2 + 4y2 - z2 + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 25

24. Что называется углом между прямыми на плоскости?

98. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы

[pic](2, -1, 2)и [pic](0, 3, 1).

99. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.

100. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей,

параллельной оси Оу.

101. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 26

25. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных

уравнениями с угловыми коэффициентами.

102. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1).

103. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой

координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия

второго порядка является направляющей этого цилиндра?

2 Найдите точки пересечения прямой [pic]

[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 16.

104. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 27

26. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.

105. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0).

106. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что

называется полуосями этого гиперболоида?

107. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =[pic]?

108. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 28

27. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?

109. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость

5х + 3у - 7z + 1= 0.

110. Какие сечения называют коническими?

111. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].

112. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

x2 + y2 + z2 – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 29

28. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в

пространстве.

113. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное

произведение вектора [pic] = (2, -1, 1) на вектор [pic](1, 1, 0).

114. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

115. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с

образующей, параллельной оси Оz.

116. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 30

29. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.

117. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника

ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).

118. Дайте определение конического сечения (коники).

119. Меридиан [pic] вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго

порядка получается?

120. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 31

30. Какой вектор называется векторным произведением вектора [pic] на

вектор [pic]?

121. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если

[pic] = (3, -1) и [pic] = (2, 6) - их нормальные векторы.

122. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой

координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия

второго порядка является направляющей этого цилиндра?

123. Докажите, что прямая [pic], лежит на цилиндрической

поверхности [pic].

124. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:

х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 32

31. Известно, что [pic] - направляющий вектор прямой в пространстве, [pic]

- нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы

[pic] и [pic], если прямая и плоскость перпендикулярны?

125. Найти точку М0 (x0, y0, z0) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и

прямой [pic]

126. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?

127. Докажите, что прямая [pic] лежит на параболоиде [pic].

128. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы

выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет

следующее уравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2 = 70.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 33

32. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?

129. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1,

1,0).

130. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.

3 Найдите точку пересечения прямой [pic]

[pic]и гиперболоида х2 + у2 - z2 = 1.

131. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому

виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта

поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 34

33. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.

132. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если

[pic] = (3, 4) и [pic] = (-8, 6) - их направляющие векторы.

133. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.

134. Меридиан у2 - z2 = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность

второго порядка при этом получается?

135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

3x2 + 3y2 - z2 + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 35

34. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных

уравнениями с угловыми коэффициентами.

136. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя

формулы Крамера.

137. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.

138. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость [pic]

пересекает эллипсоид [pic]? Напишите уравнение этого сечения.

139. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и

найдите ее характеристические числа: 12х2 + 12z2 - 4у2 + 8ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------