Типовой расчет по теоретической механике

Задание Д-1

Дано: [pic]

Найти: [pic] и уравнение траектории на участке BC.

Решение:

1. Рассмотрим движение тела принимаемого за материальную точку на участке

AB [pic].

Покажем силы действующие на тело: [pic]- сила тяжести, [pic]-

нормальная реакция поверхности, [pic]- сила трения.

Знаем: [pic]

В проекциях на оси [pic] и [pic] имеем:

[pic]

Так как тело движется вдоль оси [pic], то проекции перемещения скорости

и ускорения на ось [pic] равны 0, тогда уравнение [pic] принимает вид:

[pic], откуда [pic]

Знаем: [pic]

У нас: [pic]

Учтём [pic] в уравнение [pic]

[pic] или

[pic], где [pic]- постоянная величина

Интегрируем уравнение [pic]

[pic] или

[pic]

т.е. [pic]

[pic]

Для определения постоянных интегрирования [pic] и [pic] запишем

начальные условия движения тела на участке AB. При [pic] в положении А

имеем: [pic]

Подставим начальные условия в уравнения [pic] и [pic] получим:

[pic], откуда [pic]

[pic], откуда [pic]

Запишем уравнение [pic] и [pic] с учётом постоянных интегрирования

[pic] и [pic]

[pic]

В положении B, при [pic] имеем:

[pic]

[pic]

Запишем уравнение [pic] при [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

2. Рассмотрим движение тела на участке BC [pic], T – время движения тела

от B до C

Знаем: [pic]

В проекциях на оси имеем:

[pic]

[pic] или

[pic], т.е. [pic]

[pic] или [pic]

или [pic], т.е. [pic]

Для определения постоянных интегрирования [pic] запишем начальные

условия движения на участке BC.

При [pic] в положении B:

[pic]

[pic]

Подставим эти начальные условия в уравнения [pic]:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Запишем уравнения [pic] с учётом найденных постоянных интегрирования:

[pic]

В положении С при [pic]:

[pic]

[pic]

Из [pic] выражаем t:

[pic]

Подставим в [pic]:

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

[pic]