Динамическое представление данных

Р Е Ф Е Р А Т

на тему :

“ Динамическое представление сигналов “

Выполнил: Зазимко С.А.

Принял : Котоусов А.С.

МОСКВА

Динамическое представление сигналов.

Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления

сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только

мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени,

знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных

сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы

устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе

получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания

сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым

развивающийся во времени характер процесса.

На практике широкое применение нашли два способа динамического

представления.

Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые

функции, которые возникают через равные промежутки времени ( . Высота

каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени (. В

результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

[pic]

рис. 1

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные

импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют

последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом

случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

[pic]

рис. 2

Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала :

используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается

системой :

( 0, t < -(,

u(t) ( ( 0.5(t/(+1), -( ( t ( (, (1)

( 1, t > (.

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического

объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

[pic]

Переход совершается по линейному закону за время 2(. Теперь если параметр

( устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое

будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного

сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :

((((( ((((((((( t < ((

((t((((((((((((((( t ( ((

(2)

((((((((( t ( ((

В общем случае функция включения может быть смещена относительно

начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

((((( ((((((((( t < t0(

((t - t0(((( ((((((((( t ( t0(

(3)

((((((((( t ( t0(

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ

ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем,

что S(t)=0 при t<0. Пусть {(,2(,3(,...} - последовательность моментов

времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений

сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение

сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы

ступенчатых функций :

(

s(t)(s0((t)+(s1-s0)((t-()+...=s0((t)+((sk-sk-1)((t-k().

k=1

. Если теперь шаг ( устремить к нулю. то дискретную переменную k( можно

заменить непрерывной переменной (. При этом малые приращения значения

сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d()d( , и мы получаем

формулу динамического представления произвольного сигнала посредством

функций Хевисайда

(

( ds

S(t)=s0 ((t) + ( ((t-() d( (4)

( d(

0

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала ,

когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое

важное понятие - понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим

образом :

1 ( ( (

(

u(t;() = ----- ( ( (t + ---- ) - ( (t - ---- ) (

(5)

( ( 2 2 (

[pic]

При любом выборе параметра ( площадь этого импульса

равна единице :

(

П = ( u dt = 1

- (

Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.

Теперь устремим величину ( к нулю. Импульс, сокращаясь по

длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна

неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ( (

0 носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] :

((t) = lim u (t;()

((0

Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной

нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 [2] дельта-функция тем не менее

обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое

изображение дельта-функции :

[pic]

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.

Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой

примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью

дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов.

Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс

с номером k представляется как :

(k(t) = Sk [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (6)

В соответствии с принципом динамического представления исходный

сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых

:

(

S(t) = ( ( (t) (7)

k= - ( k

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот,

что удовлетворяет условию для t :

tk < t < tk+1

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)

предварительно разделив и умножив на величину шага (, то

( 1

S(t) = ( Sk --- [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (

k=- ( (

Переходя к пределу при ( ( 0 , необходимо суммирование заменить

интегрированием по формальной переменной (, дифференциал которой d( ,будет

отвечать величине ( .

Поскольку

1

lim [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] ---

(((

(

получим искомую формулу динамического представления сигнала

(

S (t) = ( s (() ((t - () d(

- (

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и

произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен

значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ( - импульс.

Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-

функции.[3]

[pic]

Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно,

интеграл дельта-функции от - ( до t есть единичный скачок , и

дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :

((t) = 1’ (t) ;

((t-t0) = 1’ (t-t0) .

Обобщенные функции как математические модели сигналов.

В классической математике полагают, что функция S(t) должна

принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная

функция ((t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не

определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает

необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала.

Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной

функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное

соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся

изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на

всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ((t) может

служить, например, значение интеграла

(

( ((t) ((t) dt

(8)

- (

при известной функции ((t) , которую называют пробной функцией.

Каждой функции ((t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное

числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый

функционал на множестве пробных функций ((t). Непосредственно видно, что

данный функционал линеен, то есть

((, ((((((((2) = a((,(() + (((,(2).

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на

множестве пробных функций ((t) задана обобщенная функция ((t) [4].

Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически,

а не как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают

многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно

дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория

обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.

На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых

средства классического анализа оказываются недостаточными.

Литература :

1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В

ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.

2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

И СИГНАЛЫ.

-----------------------

[1] Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,

[2] Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.

[3] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение

мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух

звеньев : перемножителя и интегратора.

[4] Обобщенные функции иногда называют также распределениями.